Aula 01 – Conjuntos e Operações

Essa postagem faz parte da série Projeto Matemática do Economia Mainstream. A presente aula é fortemente baseada na primeira parte do capítulo 01 livro do prof. Elon: Lima, E. L. (2010). Curso de Análise. v. 1. Rio de Janeiro: Projeto Euclides.

Um Conjunto é uma coleção de elementos. Simples assim. E, caso esteja curioso, Elementos são, “wait for it”, objetos dentro de um conjunto. A partir desses dois conceitos simples, vamos seguir nossa jornada.

Seja A um conjunto qualquer. E x um elemento qualquer. Uma relação simples que podemos determinar entre eles é a de Pertencimento (\in) .

x \in A ou x \notin A

Essa passagem é lida como: “x pertence a A ou x não pertence a A”.

Existem alguns conjuntos famosos que eu tenho certeza que você já viu antes: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Complexos. Essa é uma beleza da Matemática, com só um punhadinho de definições, já estamos lidando com conceitos infinitos em tamanho.

A próxima relação que veremos é a de Inclusão (\subset) . Dados dois conjuntos quaisquer A e B. Se todos os elementos de B também pertencem a A. Temos que:

B \subset A

Essa passagem é lida como: “B é subconjunto de A” ou “B está contido em A”.

Um conjunto sem elementos é chamado de conjunto vazio (\emptyset) . Esse conjunto é especial porque é definido como um conjunto que não possui nenhum elemento. Ou seja, se x for qualquer elemento, então, x \notin \emptyset .

Até aqui tudo certo, mas olha só que interessante essa propriedade: “o conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos”. A justificativa é essa:

Seja X um conjunto qualquer. Se \emptyset não é um subconjunto de X, então existe algum elemento x, de modo que, x \in \emptyset , o que é impossível. Portanto \emptyset \subset X.

Não vá se confundir: X é qualquer conjunto. x é um elemento qualquer. Se acostume com essas diferenças entre letras maiúsculas e minúsculas.

A relação de pertencimento possui algumas propriedades que devemos apreender (seja A , B \hspace{1mm} e \hspace{1mm} C , conjuntos quaisquer):
1) Reflexiva – A \subset A
2) Anti-Simétrica – Se A \subset B e B \subset A , Então A = B
3) Transitiva – Se A \subset B e B \subset C, então A \subset C

Vamos provar essas propriedades:
1) Seja x \in A , então x \in A . Eu sei.
2) Se A \subset B , então todos os elementos de A são, também, elementos de B . Se B \subset A , todos os elementos de B também estarão em A . Diante disso, podemos concluir que A e B possuem os mesmos elementos, ou seja, A = B .
3) Seja x \in A e A \subset B, então x \in B. Como B \subset C, então x \in C. Logo, A \subset C

Quando lidamos com conjuntos, igualdade significa que os elementos de um conjunto são os mesmos elementos de outro. Para isso, nós usamos a relação de inclusão. Usaremos essa propriedade mais a frente.

Outra relação importante é a implicação. Quando afirmamos que A \implies B (Lê-se “se A, então B”) estamos dizendo que A \subset B. Quando temos a recíproca B \implies A, então temos que A \iff B (Lê-se “A, se e somente se, B”), ou seja, A = B \iff A \subset B \ e \ B \subset A .

Uma União de conjuntos é formada do segunte modo:

A \cup B = \{x; x \in A \hspace{1mm} ou \hspace{1mm} x \in B\}

Essa passagem é lida como: “A união do conjunto A com B é formada por qualquer elemento x que pertença a o conjunto A ou ao conjunto B”. Aqui temos que lembrar das aulas de lógica e da tabela verdade para o conectivo “ou”.

Uma interseção de conjuntos é formada do segunte modo:

A \cap B = \{y; y \in A \hspace{1mm} e \hspace{1mm} y \in B\}

Essa passagem é lida como: “A interseção do conjunto A com B é formada por qualquer elemento y que pertença ao conjunto A e ao conjunto B”. Aqui temos o conectivo lógico “e”.

Aposto que vocês já viram algo parecido com isso:

A área rachurada é a interseção e a parte branca (que inclui a interseção) é a união.

Pararemos nossa primeira aula por aqui. Reflita sobre essas demonstrações e se tivar alguma dúvida, comente abaixo!

Edições:
23/12/2020 – Correções no texto – Obrigado, Caio!

Deixe um comentário

Seu endereço de e-mail não ficará público