Aula 02 – Propriedades da União

Essa postagem faz parte da série Projeto Matemática do Economia Mainstream. A presente aula é fortemente baseada em parte do capítulo 01 livro do prof. Elon: Lima, E. L. (2010). Curso de Análise. v. 1. Rio de Janeiro: Projeto Euclides.

Já vimos o que são Conjuntos e Elementos e também vimos algumas relações entre esses conceitos: A união e a interseção. Vamos agora estudar algumas propriedades dessas relações que devem ser compreendidas para uma correta utilização das mesmas.

Aviso 1: Essa aula vai ter demonstrações. Nada muito complexo, mas pode assustar os que não estão acostumados. Aproveite e se esforce para ler cada passagem até se certificar que houve compreensão do argumento. O domínio da Matemática passa pela familiaridade com o modo de argumentação formal (aos matemáticos de plantão, se eu cometer algum deslize, me corrijam por favor).

Aviso 2: Como as demonstrações das propriedades da União são parecidas com as da Interseção, eu vou seguir apenas com as propriedades da União (se houver necessidade, eu atualizo o post com as propriedades da Interseção).

Nós aprendemos na aula passada que, quando se trata de conjuntos, a igualdade é sinônimo de Inclusão ( \subset ) .

Propriedade 1:
A \cup \emptyset = A
Lê-se: ” A união de A com um conjunto vazio é igual ao conjunto A”
Prova:
Suponha que x \in A \cup \emptyset . Pela definição da União, x \in A ou x \in \emptyset . Sabemos que, pela definição de conjunto vazio, x \notin \emptyset , ou seja, x \in A \cup \emptyset \implies x \in A . Podemos concluir então que A \cup \emptyset \subset A .
Suponha, agora, que x \in A . Pela definição da União, x \in A \cup \emptyset . Logo, x \in A \implies x \in A \cup \emptyset . O que nos permite concluir que A \subset A \cup \emptyset .
Como A \cup \emptyset \subset A e A \subset A \cup \emptyset , concluímos que A \cup \emptyset = A \ \blacksquare

Propriedade 2:
A \cup A = A
Lê-se:” A união de A com A é igual ao conjunto A”
Prova:
Seja x \in A \cup A . Pela propriedade da União x \in A \ ou \ x \in A . Dessa feita, x \in A \cup A \implies x \in A . Podemos concluir então que A \cup A \subset A \ \square
Seja x \in A . Pela propriedade da União x \in A \cup A . O que mostra que x \in A \implies x \in A \cup A . Podemos verificar então que A \subset A \cup A \ \square
A \cup A \subset A \ e \ A \subset A \cup A \iff A \cup A = A \ \blacksquare

Propriedade 3:
A \cup B = B \cup A
Lê-se: ” A união dos conjuntos A e B é igual a união dos conjuntos B e A”
Prova:
Seja x \in A \cup B . Nesse caso, x \in A \ ou \ x \in B . Independente da situação x \in A \ ou \ x \in B \implies x \in B \cup A . De modo que A \cup B \subset B \cup A \ \square
Seja x \in B \cup A . Nesse caso, x \in B \ ou \ x \in A . Independente da situação x \in B \ ou \ x \in A \implies x \in A \cup B . De modo que B \cup A \subset A \cup B \ \square
A \cup B \subset B \cup A \ e \ B \cup A \subset A \cup B \iff A \cup B = B \cup A \ \blacksquare

Propriedade 4:
( A \cup B ) \cup C = A \cup ( B \cup C )
Lê-se:” A união do conjunto C com a união dos conjuntos A e B é igual a união do conjunto A com a união dos conjuntos B e C”
Prova:
Seja \alpha = A \cup B . Então temos que, se x \in \alpha \cup C = \{ x; x \in \alpha \ ou \ x \in C \} . Mas se x \in \alpha , então, x \in A \ ou \ x \in B . Ou seja, ( A \cup B ) \cup C = \{ x ; x \in A \ ou \ x \in B \ ou \ x \in C \} \ \square
Seja \beta = B \cup C . Então temos que, se x \in A \cup \beta = \{ x; x \in A \ ou \ x \in \beta \} . Mas se x \in \beta , então, x \in B \ ou \ x \in C . Ou seja, A \cup ( B \cup C ) = \{ x ; x \in A \ ou \ x \in B \ ou \ x \in C \} \ \square
O que nos permite perceber que ( A \cup B ) \cup C = \{ x ; x \in A \ ou \ x \in B \ ou \ x \in C \} = A \cup ( B \cup C ) \ \blacksquare

Propriedade 5:
A \cup B = A \iff B \subset A
Lê-se:” A união dos conjuntos A e B é igual ao conjunto A se, e somente se, B for subconjunto de A”
Esse aqui merece uma pequena explicação. O operador que vai dividir essa propriedade será o “Se, e somente se”. Nesse caso Lê-se: “A união do conjunto A com o conjunto B é igual ao conjunto A se, e somente se, B é subconjunto de A”.
Prova:
Se B \subset A então não há um x \in B e que x \notin A . Ou seja x \in B \implies x \in A
A união A \cup B = \{ x ; x \in A \ ou \ x \in B \} , pode então ser entendida como A \cup B = \{ x ; x \in A \} que é precisamente o conjunto A \ \blacksquare

Propriedade 6:
A \subset B , A' \subset B' \implies A \cup A' \subset B \cup B'
Lê-se:” Se A é subconjunto de B e A’ é subconjunto de B’, então, a união de A com A’ é subconjunto da união de B com B'”
Atenção aqui: A , A' , B \ e \ B' são apenas conjuntos quaisquer. Não existe relação entre A e A' só porque são a mesma letra. As vezes erramos a interpretação quando acrescentamos coisas às provas que estamos tentando entender.
Prova:
Seja x \in A e y \in A' . Como A \subset B , significa que, x \in B e como A' \subset B' , significa que, y \in B' . Isso quer dizer que x \in A \cup A' \implies x \in B \cup B' e que y \in A \cup A' \implies y \in B \cup B' .
Logo, podemos concluir que A \cup A' \subset B \cup B' \ \blacksquare

Propriedade 7:
A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )
Lê-se:” A união do conjunto A com a interseção dos conjuntos B e C é igual à interseção da união de A com B e da união de A com C”
Prova:
Seja x \in A \cup ( B \cap C ) , logo, x \in A \ ou \ x \in ( B \cap C ) . Se x \in A , então, x \in ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) . Se x \in ( B \cap C ) , então, x \in A \cup B e x \in A \cup C . Logo, sabemos que A \cup ( B \cap C ) \subset ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) \ \square
Seja x \in ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) . Nesse caso x \in A \ ou \ x \in B \cap C . Se x \in A , então, x \in A \cup ( B \cap C ) . Se x \in ( B \cap C ) , então, x \in A \cup ( B \cap C ) . Portanto, vemos que ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) \subset A \cup ( B \cap C ) \ \square
A \cup ( B \cap C ) \subset ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) \ e \ ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) \subset A \cup ( B \cap C ) \iff A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) \ \blacksquare

Pararemos por aqui. Reflita sobre as passagens e não desista até que todas elas façam sentido. Qualquer dúvida, posta nos comentários!

Deixe um comentário

Seu endereço de e-mail não ficará público