Essa postagem faz parte da série Projeto Matemática do Economia Mainstream. A presente aula é fortemente baseada em parte do capítulo 01 livro do prof. Elon: Lima, E. L. (2010). Curso de Análise. v. 1. Rio de Janeiro: Projeto Euclides.
Uma função possui 3 partes:
f : \overbrace{A}^{\text{Domínio}} \underbrace{\rightarrow}_{\text{Regra de associação}} \overbrace{B}^{\text{Contradomínio}}
A função “f” associa o conjunto A (chamado de domínio) ao conjunto B (chamado de contradomínio). Essa associação possui uma regra que deve respeitar as seguintes condições:
1) Sem exceções – Para todo x \in A deve existir algum f(x)
2) Sem ambiguidades – Para todo x \in A existe um único f(x)
Um gráfico de função é o subconjunto G(f) do produto cartesiano A \times B , que possui os pares ordenados (x,f(x)) . Formalmente:
G(f) = \{ (x,y) \in A \times B ; y = f(x) \}
Lê-se: “O Gráfico da função f é formado pelos pares ordenados (x,y) onde as primeiras coordenadas pertencem ao domínio e as segundas coordenadas pertencem ao contradomínio da função e que são o resultado da aplicação da regra de associação aos pontos de A”.
Uma função é classificada como injetiva ou biunívoca quando:
Dados x \in A \ e \ y \in A , se f(x) = f(y) , então x = y . Ou seja, no caso das funções injetivas, não é permitido que dois pontos do domínios produzam o mesmo resultado após a aplicação da regra de associação da função.
Uma função é classificada como sobrejetiva quando:
Dados os conjuntos A e B. Para todo y \in B existir algum x \in A de modo que f(x) = y . Atenção aqui, não pode haver um ponto em B que não possa ser relacionada ao domínio.
Uma função é classificada como bijetiva quando é, ao mesmo tempo, injetiva e sobrejetiva.
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Veja só, caro aluno autodidata, perceba que você passou a vida sabendo calcular vários tipos de funções em busca das possíveis soluções de variáveis que tornariam uma equação verdadeira. Mas, possivelmente, nunca lhe explicaram propriamente que todas aquelas funções são apenas relações entre conjuntos e que existe um sem-número de famílias de funções diferentes. Essa é outra beleza da Matemática: existe muito a se aprender e o conhecimento é logicamente concatenado. Vale a pena você pegar suas listas de cálculo e tentar olhar aquelas funções buscando detectar qual é o domínio e o contradomínio, e se são bijetivas ou não.
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Dada uma função f : A \rightarrow B \ e \ X \subset A . Os pontos em f(X) são chamados de imagem de X. Ou seja:
f(X) = \{ f(x); x \in X \} = \{ y \in B; y = f(x), x \in X \}
Lê-se: “A imagem de X é o conjunto dos resultados da aplicação da regra de associação da função f aos pontos pertencentes ao conjunto X”.
Propriedades da Imagem
Dada a função f : A \rightarrow B e os subconjuntos X, Y, … de A. Temos:
Propriedade 1:
f ( X \cup Y ) = f ( X ) \cup f ( Y )
Lê-se: “A imagem da união é igual a união das imagens”
Prova:
Elon (2010, p. 17-18)
Propriedade 2:
f ( X \cap Y ) \subset f ( X ) \cap f ( Y )
Lê-se: “A imagem da interseção é subconjunto da interseção das imagens”
Dica: Veja o exemplo 16 na página 18 para observar como essa propriedade se comporta se a função for injetiva ou não.
Prova:
Elon (2010, p. 18)
Propriedade 3:
X \subset Y \implies f(X) \subset f(Y)
Lê-se: “Se X é subconjunto de Y, então a imagem de X será subconjunto da imagem de Y”
Prova:
Seja x \in X . Se X \subset Y , teremos que x \in Y . Uma vez que f(Y) é a imagem de todos os elementos contidos em Y, dentro dela estará contida a imagem de todos os elementos contidos em X, i. e., f(X) \subset f(Y) \ \blacksquare
Propriedade 4:
f( \emptyset ) = \emptyset
Lê-se: “A imagem do conjunto vazio é o conjunto vazio”
Prova:
Suponha que y \in f( \emptyset ) . Desse modo, existe algum x \in \emptyset de modo que f(x) = y . Mas, pela definição de \emptyset , x \notin \emptyset . Desse modo, f( \emptyset ) não pode conter nenhum elemento, ou seja, f( \emptyset ) = \emptyset \ \blacksquare
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A imagem inversa f ^{-1} ( Y ) de um conjunto qualquer Y \subset B dado a função f : A \rightarrow B é obtida do seguinte modo:
f ^{-1} (Y) = \{ x \in A; f(x) \in Y \}
Lê-se: “A imagem inversa de Y é formada de todos os elementos contidos no domínio cuja imagem está em Y”
Mais informalmente, seria o “caminho contrário” da função.
Propriedades da imagem reversa
Sejam Y e Z subconjuntos de B. Dada a função f : A \rightarrow B
Propriedade 1:
f^{-1} ( Y \cup Z ) = f^{-1} (Y) \cup f^{-1} (Z)
Lê-se: “A imagem inversa da união de Y e Z é igual a união da imagem inversa de Y com a imagem inversa de Z”
Prova:
Elon (2010, p. 19)
Propriedade 2:
f^{-1} ( Y \cap Z ) = f^{-1} (Y) \cap f^{-1} (Z)
Lê-se: “A imagem inversa da interseção de Y e Z é igual a interseção da imagem inversa de Y com a imagem inversa de Z
Prova:
Elon (2010, p. 20)
Propriedade 3:
f^{-1} ( \complement Y ) = \complement f^{-1} (Y)
Lê-se: “A imagem inversa do complemento de Y é igual ao complemento da imagem inversa de Y”
Prova:
Elon (2010, p. 20)
Propriedade 4:
Y \subset Z \implies f^{-1} (Y) \subset f^{-1} (Z)
Lê-se: “Se Y for subconjunto de Z, então, a imagem inversa de Y será subconjunto da imagem inversa de Z”
Prova:
Seja x \in Y \iff f(x) \in f^{-1}(Y) . Pela definição de subconjunto, Y \subset Z \implies x\in Z \iff f(x) \in f^{-1}(Z) . Desse modo, f(x) \in f^{-1}(Y) \implies f(x) \in f^{-1}(Z) \iff f^{-1}(Y) \subset f^{-1}(Z) \ \blacksquare
Propriedade 5:
f^{-1} (B) = A
Lê-se: “A imagem inversa de B é igual a A”
Prova:
Usando as condições da regra de associação. Temos que f^{-1}(B) = \{ x \in A; f(x) \in B \} = A \ \blacksquare
Propriedade 6:
f^{-1} ( \emptyset ) = \emptyset
Lê-se: “A imagem inversa do conjunto vazio é um conjunto vazio”
Prova:
f^{-1}(\emptyset) = \{ x \in A; f(x) \in \emptyset \}. Já sabemos que não pode haver um f(x) \in \emptyset , portanto, f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \ \blacksquare
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Na próxima aula veremos as composições de funções. Como sempre, no caso de alguma dúvida, basta comentar que tentaremos esclarecê-la. Até logo!
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