Essa postagem faz parte da série Projeto Matemática do Economia Mainstream. A presente aula é fortemente baseada em parte do capítulo 01 livro do prof. Elon: Lima, E. L. (2010). Curso de Análise. v. 1. Rio de Janeiro: Projeto Euclides.
Seguiremos nosso estudo sobre conjuntos e suas relações com o conceito de diferença entre conjuntos: dados dois conjuntos quaisquer A e B, a diferença entre eles é obtida pela retirada em A de quaisquer elemento pertencente a B. Formalmente temos:
A - B = \{ x ; x \in A \ e \ x \notin B \}
Lê-se essa passagem como: “A diferença entre o conjunto A e B é formada por todos os elementos x que pertençam ao conjunto A e não pertençam ao conjunto B”.
Em um plano, ficaria algo parecido com isso aqui:
Agora pensemos um pouco. O que acontece se A e B não tiverem interseção? Ou seja A \cap B = \emptyset . Nesse caso, A - B = A (consegue ver isso?).
Outra situação interessante é quando B \subset A . Nesse caso, lemos A - B como complementar de B em relação a A. Também podemos escrever usando o símbolo \complement . Ou seja, A - B = \complement _A \ B .
Graficamente:
Você já deve ter visto essa relação de complemento ser usada sem essa parte de “em relação a”. Isso acontece porque é comum supor que haja um conjunto fundamental que contenha todos os conjuntos. Dessa feita, o complemento em relação a esse conjunto fundamental é comumente expresso sem a parte da relação.
Seja x um elemento qualquer e X um conjunto qualquer:
x \in \complement X \iff x \notin X
Seja o conjunto fundamental E e dois conjuntos quaisquer A e B. Temos que:
A equivalência da área vermelha pode ser vista no seguinte argumento: x \in A - B \iff x \in A \ e \ x \notin B \iff x \in A \ e \ x \in \complement B \iff x \in A \cap \complement B
Propriedades do complemento*
Propriedade 1:
\complement ( \complement A ) = A
Propriedade 2:
A \subset B \iff \complement B \subset \complement A
Propriedade 3:
A = \emptyset \iff \complement A = E
Propriedade 4:
\complement ( A \cup B ) = \complement A \cap \complement B
Propriedade 5:
\complement ( A \cap B ) = \complement A \cup \complement B
* as provas dessas propriedades se encontram em Lima (2010, p. 10 – 11).
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Para finalizar nossa introdução aos conjuntos, vamos ver mais alguns conceitos importantes para começarmos o estudos das funções.
Um par ordenado nada mais é do que dois objetos unidos da seguinte forma: (a,b). Sendo a a primeira coordenada e b a segunda coordenada.
Dados dois pares ordenados (a,b) e (a’, b’). Temos que:
(a , b ) = (a' , b') \iff a = a' \ e \ b = b'
Atenção aqui: não podemos confundir um par ordenado (a,b) com um conjunto de dois elementos {a,b}. No caso do par ordenado a ordem importa, i. e., (a,b) é diferente de (b,a). O que não acontece no caso dos conjuntos {a,b} = {b,a}.
O produto cartesiano é definido da seguinte forma: sejam dois conjuntos quaisquer A e B, o produto cartesiano A x B é dado por:
A \times B = \{ (a,b); a \in A, b \in B \}
Lê-se como: “O produto cartesiano dos conjuntos A e B é formado pelo par ordenado (a,b), cuja primeira coordenada “a” é um elemento do conjunto A e a segunda coordenada “b” é formada por um elemento do conjunto B”.
Se A = B, temos A x A = A2 . Cuidado aqui, não leia essa parte como “A vezes A = A ao quadrado”. O que estamos dizendo é: “Eu posso escrever o produto cartesiano de conjuntos iguais A x A da forma A2 “. A questão aqui é só uma outra forma de expressar essa relação.
Uma diagonal é o subconjunto \Delta \subset A \times A cujas coordenadas são iguais.
Com isso terminamos nossa introdução a teoria dos conjuntos e seguiremos para o estudo das funções. Como sempre, qualquer dúvida ou contribuição será bem-vinda nos comentários. Até a próxima!
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