Aula 05 – Composição de Funções

Essa postagem faz parte da série Projeto Matemática do Economia Mainstream. A presente aula é fortemente baseada em parte do capítulo 01 livro do prof. Elon: Lima, E. L. (2010). Curso de Análise. v. 1. Rio de Janeiro: Projeto Euclides.

Já conceituamos o que são funções, imagens, gráficos e imagens inversas. Agora vamos continuar nosso estudo aprendendo um pouco sobre composição de funções.

Imagine que temos duas funções quaisquer: f : A \rightarrow B e g : B \rightarrow C . Veja que o contradomínio de uma é o domínio da outra. Podemos construir uma terceira função g\circ f:A\to C , chamada de função composta. Ela possui a seguinte forma:

(g \circ f)(x) = g(f(x)) para todo x \in A

Proposição: Se f : A \rightarrow B \ e \ g : B \rightarrow C são injetivas, então g \circ f : A \rightarrow C é injetiva.

Demonstração:

Se f, g são injetivas, então a injetividade de g nos diz que dados x,y\in A, g(f(x))=g(f(y))\Rightarrow f(x)=f(y) . Por outro lado, a injetividade de f nos diz que f(x)=f(y) \Rightarrow x=y . Portanto, g \circ f(x)=g \circ f(y) \Rightarrow x=y e g\circ f é injetiva.

Proposição: Se f : A \rightarrow B \ e \ g : B \rightarrow C são sobrejetivas, então, g \circ f : A \rightarrow C é sobrejetiva.

Demonstração:

g \circ f : A \rightarrow C será sobrejetiva se, para todo y \in C , houver algum x \in A, de modo que, (g \circ f)(x) = y .
Seja f : A \rightarrow B sobrejetiva. Então, para todo z \in B , existe um x \in A , de modo que f(x) = z .
Seja agora g : B \rightarrow C sobrejetiva. Então, para todo y \in C existe algum z \in B, de modo que g(z) = y .
Podemos ver que, se f e g forem sobrejetivas, então para todo y\in C haverá algum z\in B tal que f(z)=y, e para todo z\in B existe x\in A tal que f(x)=z , donde (g \circ f)(x) = y , que é o que queríamos demonstrar.

Se g \circ f : A \rightarrow C for injetiva e sobrejetiva, então, ela será bijetiva.

Até aqui tudo bem. Mas olha só que proposição interessante:

Proposição: Qualquer função f : A \rightarrow B pode ser escrita como uma composição de uma função injetiva com uma função sobrejetiva. Ou, também, podemos decompô-la em uma sobrejetiva com uma injetiva. (Ou seja, você sempre esteve na companhia dessas funções sem nem perceber).

Demonstração:

Elon (2010, p. 20-21). Mas aqui vai algum auxílio. (Se você não consultar o livro nem vale a pena ler essa parte).
Na primeira parte você deve lembrar que uma igualdade entre f(A) e B implica que possuem os mesmos elementos. Desse modo faz sentido separar a regra de associação da função f em duas etapas f_1 : A \rightarrow f(A) (uma função injetiva) e, depois, h : f(A) \rightarrow B (uma função sobrejetiva).
Já na segunda parte, você precisará do seguinte conceito: uma segunda projeção de um produto cartesiano A \times B é uma função dessa projeção do seguinte modo \pi_2 : A \times B \rightarrow B . O pulo do gato é separar a relação f : A \rightarrow B em outras duas: F : A \rightarrow A \times B (uma sobrejetiva) e \pi_2 : A \times B \rightarrow B (uma injetiva).

Aqui vai um comentário meu. Embora a Economia possua uma realidade prática muito evidente para os seus adeptos, estamos estudando Matemática aqui. Por causa disso, as vezes vai parecer que a demonstração de uma determinada proposição (ou mesmo a própria proposição em si) não são tão relevantes. Mas você deve afastar esse pensamento. Busque admirar-se pela engenhosidade das demonstrações e pela robustez da argumentação ao invés de tentar achar praticidade. Quando terminar essa série, você será capaz de utilizar essa maneira de pensar dentro do estudo econômico. Será capaz de construir modelos melhores sobre os fenômenos econômicos (bem como delimitar exatamente quais as condições de análise do modelo) e também estará mais próximo(a) de entender o que está acontecendo na fronteira do conhecimento.

Proposição: Sejam as funções f : A \rightarrow B e g : B \rightarrow C e os subconjuntos X \subset A e Z \subset C . Temos que,

(g \circ f)^{-1} (Z) = f^{-1}(g^{-1}(Z))

Lê-se: “A imagem inversa da composição das funções f e g para o domínio Z é igual à imagem inversa da função f da imagem inversa da função g para o domínio Z”.

Demonstração: Elon (2010, pg. 21).

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Imagine que temos uma função f : A \rightarrow B e que estamos interessados nessa relação apenas para parte X do domínio A . Pois bem, a essa altura você já deve ter percebido que X \subset A . Preste atenção aqui, ainda teremos a mesma regra de associação e o mesmo contradomínio, contudo, nossa função original está sob uma restrição ao subconjunto X . Escrevemos essa restrição do seguinte modo:

f | X : X \rightarrow B cuja definição é (f|X)(x) = f(x)\ para todo x \in X

Também podemos escrever essa restrição como uma composição de funções. Basta criarmos uma função de inclusão i: X \rightarrow A onde i(x) = x \in A . Desse modo, temos que f|X = f \circ i: X \rightarrow B . Ou seja, primeiro aplicamos a redução ao domínio com a função i , e depois aplicamos a regra de associação de f a esses pontos do subconjunto restrito X .

Também é possível estar interessado no caminho inverso. Imagine que você tem a função g: X \rightarrow B e queira estender seu domínio para A \supset X de modo que, ao final, obterá a função f : A \rightarrow B . Nós chamamos a função f de uma extensão da função g .

Um grande número de problemas matemáticos importantes se reduzem a estender uma ou várias funções de tal modo que as extensões satisfaçam a certas condições adicionais (continuidade, analiticidade, etc.). A função que se deseja estender é chamada a “condição de contorno”.

Elon (2010, pg. 21)

Para prosseguir, você precisará de mais uma “chave do castelo“. Uma função identidade id_A : A \rightarrow A é definida por id_A (x) = x para todo x \in A .

Se tivermos duas funções f : A \rightarrow B e g : B \rightarrow A , então g é chamada de inversa à esquerda para f de modo que g \circ f = id_A : A \rightarrow A . Ou seja, g(f(x)) = x para todo x \in A .

Proposição: Uma função f : A \rightarrow B possui inversa à esquerda se, e somente se, é injetiva.

Demonstração:

Elon (2010, pg. 22). Mas aqui vai alguma ajuda. Quando ele define a função g : B \rightarrow A , é necessário evitar que exista alguma possibilidade de haver algum g(y) \notin A . Por isso ele cria a regra que g(y) = x_{\tiny 0} sempre que y \in B - f(A) (sempre que y for algum ponto fora da imagem de A , essa função inversa g vai devolver um ponto arbitrário em A ).

Você pode estar se perguntando agora: “bom, se existe inversa à esquerda, será que existe à direita?”. Acertou, existe sim.

Uma função qualquer g : B \rightarrow A é chamada de inversa à direita de uma função qualquer f : A \rightarrow B sempre que f \circ g = id_{\tiny B} : B \rightarrow B , isto é, quando f(g(y)) = y para todo y \in B .

Proposição: Uma função f : A \rightarrow B possui inversa à direita se, e somente se, é sobrejetiva.

Demonstração: Elon (2010, pg. 22). Essa eu acho que dá pra entender de boa, se tiver dúvida, poste nos comentários.

Dadas as funções g : B \rightarrow A e f : A \rightarrow B . A função g é chamada de inversa se g \circ f = id_{\tiny A} e f \circ g = id_{\tiny B} . Ou seja quando g for, ao mesmo tempo, inversa à direita e à esquerda de f .

Dessas duas proposições acima, vemos que uma função terá uma inversa se, e somente se, for uma bijeção.

Pra finalizar, uma última proposição a respeito da bijeção.

Proposição: Se uma função f : A \rightarrow B é uma bijeção, então ela possuirá apenas uma função inversa.

Demonstração: Elon (2010, pg. 23).

Dada uma bijeção f : A \rightarrow B , escrevemos sua inversa como f^{-1} : B \rightarrow A . A composição de funções bijetivas é uma função bijetiva, então, a função inversa por ser escrita como (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} .

Isso é tudo por hoje. Na próxima aula veremos as famílias de funções e, com isso, terminaremos o capítulo 01. Eu procurei focar bastante da explicação desse primeiro capítulo porque ele é fundamental pro entendimento de todo o resto do curso.

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