Aula 06 – Famílias

Essa postagem faz parte da série Projeto Matemática do Economia Mainstream. A presente aula é fortemente baseada em parte do capítulo 01 livro do prof. Elon: Lima, E. L. (2010). Curso de Análise. v. 1. Rio de Janeiro: Projeto Euclides.

Imagine um conjunto A qualquer. Se os elementos desse conjunto podem ser ordenados, existe algum critério para definir uma lógica classificatória entre eles (eu sei). Chamaremos esses elementos ordenados de índices ( \lambda ). Finalmente, suponha que temos mais um conjunto X .

Uma família de elementos de X com índices em A é uma função x : A \rightarrow X . Como o conjunto A possui a capacidade de indexação, quando vinculamos X a ele por meio da função x , estamos “indexando” os elementos de X . O valor de x para o ponto \lambda \in A é indicado por x_{\lambda} e não por x(\lambda) (atenção com essa exceção).

Podemos chamar o conjunto obtido com a função x de “família x ” e representá-la como (x_{\lambda})_{\tiny{\lambda \in A}} ou como x_{\lambda} . Quando o conjunto que contém os índices é um subconjunto dos números naturais, ou seja, quando temos A = {1,2,...,n} de modo que x : A \rightarrow X e A \subset \N , chamamos isso de n-upla de elementos X . O elemento x_i é denominando de i-ésima coordenada da n-upla x = (x_1,x_2,x_3,...,x_n) .

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Agora vamos ir um pouco mais longe. Imagine que temos vários conjuntos diferentes A_{\lambda} . Podemos usar a mesma lógica dos índices para construir uma família de conjuntos A com índices em um outro conjunto X \subset \N . Podemos representar essa família de conjuntos A como (A_{\lambda})_{\tiny{\lambda \in X }} ou, simplesmente, A_{\lambda} .

Podemos expressar a união de uma família de conjuntos do seguinte modo:

\displaystyle\bigcup_{\tiny{\lambda \in X}} A_{\lambda} = \{ x; x \in A_{\lambda} \ para \ algum \ \lambda \in X \}

ou, quando X = \{1,2,3,...,n \}:

\displaystyle\bigcup_{\tiny{\lambda = 1}}^{n} A_{\lambda} = \{ x;x \in A_{\lambda} \ para \ algum \ \lambda \in X \}

Lê-se: “A união de todos os lambda conjuntos A é formada por todos os elementos x de modo que x é um elemento de algum conjunto A_{\lambda} e que esse índice lambda seja elemento do conjunto X “.

De uma maneira muito parecida, podemos indicar a interseção de uma família de elementos com o uso da seguinte notação:

\displaystyle\bigcap_{\tiny{\lambda \in X}} A_{\lambda} = \{ x; x \in A_{\lambda} \ \forall \ \lambda \in X \}

ou, quando X = \{1,2,3,...,n \}:

\displaystyle \bigcap_{\tiny{\lambda = 1}}^{n} A_{\lambda} = \{ x; x \in A_{\lambda} \ \forall \ \lambda \in X \}

Lê-se: “A interseção de todos os lambda conjuntos A é formada por todos os elementos x de modo que x seja elemento de todos os conjuntos cujo índice (lambda) pertença ao conjunto X “. Esse \forall significa “para todos”.

É importante notar que podemos relacionar a união e a interseção. De fato, dados os conjuntos (A_{\lambda})_{\tiny{\lambda \in L}} \subset A , definindo uma nova família \displaystyle (B_{\lambda}), B_{\lambda}=A-A_{\lambda} , ou seja, B_{\lambda} sendo o complemento de A_{\lambda} , i.e., \complement_{A} \ A_{\lambda} . (Atenção: outra maneira de escrever o complemento é A^c , usaremos essa notação também).

Sabemos que existe B = \bigcup_{\tiny{\lambda \in L}} B_{\lambda} , portanto, vejamos os elementos de B . x\in B \iff \exists \lambda \in L tal que x\in B_{\lambda} \iff x\in A,x\notin A_{\lambda} . Com isso, temos que x\notin B \iff x\notin B_{\lambda} para todo \lambda \in L , ou seja, que x\in A_{\lambda}, \forall \lambda \in L . Com isso, temos que \displaystyle \bigcap_{\lambda \in L}A_{\lambda} = A - B . Ou seja, A interseção entre os A_{\lambda} conjuntos é a diferença entre os conjuntos A e B .

Dado um conjunto fixo A , definimos o complementar de B\subset A por B^c = A - B . Com isso, podemos enunciar a proposição anterior como uma propriedade do complementar: \displaystyle (\bigcup_{\lambda \in L} A_{\lambda})^c = \bigcap_{\lambda \in L}A_{\lambda}^c . Que nada mais é do que a generalização da propriedade 4 do complemento visto na aula 03.

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Quando uma família possui como índice o conjunto dos Naturais \N = \{ 1,2,3,... \} ela será denominada sequência. Veja o exemplo 18 na página 25. Com os conceitos apresentados até aqui, você deve ser capaz de compreendê-lo. Se tiver dúvida, comenta aí! 😉

Agora que aprendemos o que é uma família, vamos trabalhar esse novo conceito com o que já vimos de funções anteriormente. Seja uma função f : A \rightarrow B , dada uma família (A_{\lambda}){\tiny{\lambda \in X}} de subconjuntos de A , e uma família (B_{\mu}){\tiny{\mu \in M}} de subconjuntos de B , teremos:

Proposição: f(\bigcup A_{\lambda}) = \bigcup f(A_{\lambda})

Demonstração:

Elon (2010, pg. 26)

Proposição: f(\bigcap A_{\lambda}) \subset \bigcap f(A_{\lambda})

Demonstração:
Suponha que y \in f(\bigcap A_{\lambda}) , então \exist \ x \in \bigcap A_{\lambda} de modo que y = f(x) . Como x é um elemento de todos os conjuntos A_{\lambda} , a sua imagem f(x) também será elemento de todos os f(A_{\lambda}) , ou seja, f(x) \in \bigcap f(A_{\lambda}) . Se você entendeu as aulas passadas, consegue ver que a demonstração está terminada, se tiver alguma dúvida, manda aí!

Proposição: f^{-1} (\bigcup B_{\mu}) = \bigcup f^{-1} (B_{\mu})

Demonstração:

x \in f^{-1}(\bigcup B_{\mu}) \iff \exist \ y \in \bigcup B_{\mu} , \ tal \ que \ y = f(x) \iff \exist \ \mu \in M , \ tal \ que \ x \in f^{-1}(B_{\mu}) \iff x \in \bigcup f^{-1}(B_{\mu}) \ \blacksquare

Proposição: f^{-1} (\bigcap B_{\mu}) = \bigcap f^{-1} (B_{\mu})

Demonstração:

Elon (2010, pg. 27)

A noção de família também pode ser aplicada para o produto cartesiano. Desse modo, ao invés de somente pares ordenados do tipo (a,b) onde a \in A \ e \ b \in B , podemos produzir n-uplas do tipo (a_1,a_2,...,a_n) sendo n qualquer número arbitrário. Ou seja, dados os n conjuntos A_1, A_2, ... , A_n , o produto cartesiano será A_1 \times A_2 \times … \times A_n = \displaystyle \prod_{i = 1}^{n} A_i onde a_1 \in A_1 , a_2 \in A_2, ..., a_n \in A_n . Quando o produto cartesiano se refere ao mesmo conjunto n vezes, ou seja, é do tipo \underbrace{A \times A \times A ... \times A }_{\text{n \ vezes}} , também podemos escrevê-lo como A^n .

Com isso terminamos o primeiro capítulo do livro do prof. Elon. O objetivo era dar alguma base para que o curso de análise real pudesse ser introduzido mais eficientemente. Reveja as aulas sempre que tiver alguma dúvida e consulte as fontes bibliográficas. Nosso esforço aqui é facilitar a sua jornada, mas você deve buscar mais fundo.

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